ANNO SCOLASTICO 2008 – 2009 Il Gruppo di ricerca sulla didattica della matematica nella scuola elementare del Dipartimento di Matematica “F. Enriques” dell'Università degli Studi di Milano, in collaborazione con il Centro “matematita”, propone per l’a.s 2008-2009 una serie di problemi pensati per bambini dalla prima alla quinta elementare, su temi diversi che corrispondono a nodi concettuali ritenuti centrali nella matematica della scuola primaria. L’obiettivo è quello di condurre i ragazzi a “fare esperienza di matematica” in una maniera che sia rispettosa del percorso di ognuno di loro, ma che rappresenti anche un momento di discontinuità rispetto al quotidiano lavoro in classe. In generale, le precedenti esperienze hanno messo in evidenza come proposte di questo tipo che vengono “dall’esterno” della scuola possano rappresentare una buona occasione per • rimettere in gioco tutti i ragazzi senza ruoli prestabiliti, • illustrare in modo non consueto l’immagine del docente come “esperto” che li accompagna nel cammino della conoscenza, • portare alla luce abilità o incertezze non riconosciute in precedenza durante il lavoro curriculare, • dare ai ragazzi l’opportunità di mettersi alla prova “senza rete” confrontandosi con linguaggi, domande e ambiti imprevisti o, comunque diversi, in generale, da quelli più consueti. L’unica condizione ritenuta indispensabile per la buona riuscita dell’impresa è che la classe possa riconoscere questo lavoro come “proprio”, e quindi possa scegliere da sé sia le strategie risolutive sia il canone della comunicazione che ritiene più efficaci. L’esperienza degli scorsi anni ha mostrato come situazioni di questo tipo permettano anche un confronto interessante e molto utile fra i docenti sperimentatori che guidano il lavoro nelle loro classi e i docenti che lavorano nella “Redazione dei giochi”. La proposta si rivolge alle classi dalla prima alla quinta delle scuole primarie, e si articola in cinque tappe. Il metodo di lavoro proposto è quello a piccolo gruppo e i piccoli gruppi sono gli interlocutori della Redazione dei giochi. Nelle prime quattro sessioni di lavoro verranno proposti (sul sito www.quadernoaquadretti.it) alcuni problemi - abbastanza difficil. I docenti sono invitati a scaricarli dal sito e poi l’esperienza suggerisce che: • i problemi proposti dalla Redazione dei giochi siano affrontati dalla classe suddivisa in gruppi di tre - quattro ragazzi; • ogni gruppo invii le proprie soluzioni senza alcun controllo preventivo da parte degli altri gruppi o del docente; • e quindi – a invio effettuato - le soluzioni vengano invece confrontate e discusse con tutta la classe e con l’intervento del docente. Le soluzioni spedite entro i primi 15 giorni dalla messa in rete dei testi dei giochi verranno commentate in rete dalla Redazione. Le altre verranno semplicemente archiviate. Per la quinta tappa invece – anche per mostrare ai ragazzi il cammino fatto – saranno riproposte alcune delle questioni già viste e commentate dalla Redazione nelle tappe precedenti, sia pure “presentate” in maniera diversa. 1
si sono cimentate in almeno tre delle tappe precedenti. Per i docenti delle classi IV e V proponiamo invece un solo contesto che porterà i ragazzi a diventare “matematici esperti”. Novità . Per esaltare il ruolo attivo degli studenti, quest’anno, proponiamo alle classi che lo desiderano di contribuire alla realizzazione di un Gioco dell’oca matematico inviandoci entro il 26 marzo, in corrispondenza della quarta tappa, un gruppo di 9 quesiti, 3 di tipo rosso (domande difficili), 3 di tipo giallo (domande di difficoltà media) e 3 di tipo verde (domande facili), destinati a compagni della classe precedente. Le domande/problema saranno scritte su carte di colore diverso che verranno pescate durante il gioco in corrispondenza di alcune specifiche caselle non neutre. Le domande “rosse” consentiranno di avanzare di 3 caselle nel caso di risposta corretta e obbligheranno a rimanere fermi nel caso di risposta errata. Le domande “gialle” consentiranno di avanzare di 2 caselle nel caso di risposta corretta e obbligheranno a indietreggiare di 1 nel caso di risposta errata. Le domande “verdi” consentiranno di avanzare di 1 nel caso di risposta corretta e costringeranno a tornare all’inizio nel caso di risposta errata. I ragazzi potranno imperniare le domande sui temi matematici che più preferiscono, ricordando a chi sono destinate. Produrre queste domande richiede ai ragazzi di • ripensare a quanto hanno imparato l’anno precedente; • valutare il grado di difficoltà delle domande che via via propongono, compiendo in tal modo una naturale riflessione sulla loro esperienza matematica. La Redazione pubblicherà sul sito le domande più interessanti corrispondenti a gruppi di carte di colore diverso e anche i più bei disegni dello schema del Gioco dell’oca per le classi che più amassero disegnare e colorare e volessero inviarci la loro proposta. Con il materiale della prima tappa forniremo dettagli sulle caratteristiche che il percorso disegnato dovrà avere. Allegato 1 MODALITÀ DI SVOLGIMENTO Il calendario previsto per le tappe è il seguente: TAPPA DATA PUBBLICAZIONE DELLE SOLUZIONI prima tappa 13 novembre 2008 27 novembre 2008 seconda tappa 15 gennaio 2009 29 gennaio 2009 terza tappa 19 febbraio 2009 5 marzo 2009 quarta tappa 26 marzo 2009 16 aprile 2009 tappa 100 (fittizia) 20 aprile 2009 quinta tappa 4 maggio 2009 11 maggio 2009 A partire dalla data indicata per ogni tappa, i docenti che hanno iscritto le loro classi potranno accedere ai testi dei problemi tramite il sito e quindi sottoporli all’attenzione della classe. Al termine del lavoro della classe, i docenti dovranno inviare alla Redazione le soluzioni trovate da ciascun gruppo (secondo le istruzioni che verranno pubblicate sul sito) o, in mancanza delle soluzioni, il resoconto delle riflessioni compiute e delle difficoltà trovate. Per le prime quattro tappe, dopo due settimane dalla data di pubblicazione dei testi di una certa tappa si potranno trovare on-line le soluzioni, commentate dalla Redazione dei Giochi sulla base delle eventuali risposte e delle osservazioni fin lì 2 ricevute.
potranno trovare on-line anche i messaggi a quei gruppi di ragazzi che avranno inviato le loro soluzioni entro due settimane dalla pubblicazione dei testi sul sito: tali messaggi conterranno i commenti della Redazione alle soluzioni e/o alle riflessioni inviate da ogni gruppo. Dal 20 Aprile fino al 30 dello stesse mese potranno essere inviate, come se fossero risposte ad una tappa fittizia che abbiamo chiamato 100, le domande di diverso tipo proposte dalle classi per il Gioco dell’oca. Ogni classe dovrà inviare un solo file di testo contenente le domande/problema rispettando queste indicazioni: • l’estensione dei file potrà essere solo .doc oppure .txt; • ogni domanda /problema non dovrà superare i 300 caratteri, spazi inclusi; • per ogni domanda/problema sarà indicata la tipologia (verde, gialla o rossa). I testi relativi alla tappa finale saranno disponibili in rete il 4 maggio 2009. Mentre i lavori di classe relativi alle prime 4 tappe possono svolgersi quando il docente lo ritiene più opportuno, in uno qualunque dei giorni successivi a quelli indicati dal calendario, per il lavoro relativo alla quinta tappa il rispetto della data del 4 maggio 2009 è fortemente consigliato, anche per garantire la valutazione tempestiva delle risposte via via comunicate alla Redazione e quindi la pubblicazione dei risultati. In corrispondenza delle pubblicazioni delle soluzioni della quinta tappa, pubblicheremo 4 Giochi dell’Oca, uno per ogni classe, usando i più bei percorsi inviatici dalle classi e le domande più intriganti. Perché sia possibile “sfruttare” al meglio le potenzialità insite in questo lavoro, ai docenti che iscrivono la propria classe chiediamo una collaborazione molto stretta con la Redazione dei giochi. A tal fine ogni docente, successivamente alla comunicazione di accettazione dell’iscrizione e della password per accedere al testo dei problemi, troverà di volta in volta alcune indicazioni di massima sull’organizzazione del lavoro in classe. 3
abbiamo saputo che siete una classe davvero in gamba e quindi stiamo cercando proprio voi! Abbiamo bisogno, infatti, ancora una volta di persone che abbiano voglia di aiutarci per una sperimentazione: dobbiamo valutare se alcuni problemi di matematica sono davvero così difficili da risolvere come ci appaiono. Abbiamo già lavorato con alcuni ragazzi negli anni scorsi e ci siamo trovati bene. Questa volta volete provareanche voi a darci una mano, sapendo che potete contare sempre sull’aiuto della vostra/del vostro insegnante? Se riuscirete a risolvere i nostri problemi, vi nomineremo “matematici esperti” e possiamo garantirvi che non capita a tutti! Ve la sentite di accettare la sfida? Ecco le nostre istruzioni per le classi sperimentatrici che vogliono mettersi alla prova: 1) i problemi da risolvere sono abbastanza difficili e alcuni forse addirittura troppo difficili per una persona sola, e quindi mettetevi insieme in tre o quattro. Scegliete bene i vostri compagni di impresa perché dovrete stare insieme per ben cinque volte! 2) date un nome al vostro gruppo in modo che possiamo riconoscervi da una volta all’altra; 3) non dimenticatevi che avete un esperto in classe, cioè il vostro o la vostra insegnante: potete farvi aiutare per capire il significato delle parole che non conoscete o che non vi ricordate; 4) ogni volta mandateci le vostre risposte. Le aspettiamo. dal Dipartimento di Matematica dell’Università di Milano 4
si parte! Ecco la prima tornata di giochi dedicata agli oggetti geometrici che nascono come astrazione dai dadi e dai cubetti dei giochi di costruzioni e al loro volume, inteso come misura dello spazio che dadi e cubetti occupano nella stanza. Sono questioni che spesso restano a lato del curriculum scolastico, e che quindi possono servire bene per giocarci sopra allenando occhi e mani. Con un obiettivo dichiarato esplicitamente: vogliamo che i ragazzi imparino a disegnare figure tridimensionali cominciando dal dado e dal cubetto e che lo imparino fin da piccini, perché può essere loro molto utile sotto molti punti di vista. 1. Per affrontare al meglio questi giochi occorre che in aula siano a diposizione tanti cubi, cubetti, dadi tutti uguali tra loro. Nel dettaglio: in prima: 8 cubetti per ogni gruppo di lavoro (Sono bimbi piccoli, spesso con scarsa manualità, quindi date loro cubetti grandi: al più - nei giorni precedenti - fate portare a scuola i cubetti delle costruzioni o chiedeteli in prestito a qualche altra classe. Se da questo gioco nasce la voglia di costruire da sé dei cubi, fateci chiedere dai bambini degli sviluppi grandi, ve li manderemo e potranno ritagliarne quanti ne vogliono, magari per costruire gli addobbi dell’albero o dell’aula). in seconda: 8 cubetti per ogni gruppo (possono essere anche quelli dei regoli se i bambini sono abituati a usarli, ma se fossero più grandi non sarebbe male) in terza e in quarta: 27 cubetti per ogni gruppo (possono essere anche quelli dei regoli) in quinta: 35 cubetti per ogni gruppo (possono essere anche quelli dei regoli) 2. Quanto ai problemi ecco alcune osservazioni; per la classe prima: il testo è lungo e articolato, leggetelo con calma e lasciate che ogni gruppo faccia le sue costruzioni, ma poi tenete fortemente in mano voi il momento della scelta delle due costruzioni che ci spedite. Ricordatevi che l’ottavo cubetto non si vede e che quindi possono pensare che ce ne siano solo 7, ma il nome dado dovrebbe togliere i dubbi! Ci saranno torri e serpenti e cose strane, ma vedrete che, dovendo disegnarle, faranno vincere torri e serpenti e poco più (ricordatevi che devono stare in piedi e che quindi i ponti per esempio non ce la faranno). Se non riuscite a farli disegnare, fatevi dettare le istruzioni per ricostruire le figure e continuate a dire che non si capisce finché non vi pare che la frase sia abbastanza pulita: sarà forse la prima volta che cercheranno di dare istruzioni a qualcuno, non abbiate fretta. per la classe seconda; anche qui il testo è lungo e articolato, leggetelo con calma e lasciate che ogni gruppo faccia le sue costruzioni, ma poi cercate di essere molto presenti nel momento del disegno. Ricordatevi che l’ottavo cubetto non si vede e che quindi possono pensare che ce ne siano solo 7, ma il nome dado dovrebbe togliere i dubbi! Ci saranno torri e serpenti e cose strane, ma vedrete che dovendo disegnarle faranno vincere torri e serpenti e poco più (ricordatevi che devono stare in piedi e che quindi i ponti per esempio non ce la faranno). Se non riuscite a farli disegnare, fatevi dettare le istruzioni per ricostruire le figure e continuate a dire che non si capisce finché non vi pare che la frase sia pulita: sarà forse una delle prime volte che cercheranno di dare istruzioni matematiche a qualcuno, non abbiate fretta. Per la seconda risposta, state solo ad osservare che cosa intendono i ragazzi per spazio occupato, per più o meno spazio occupato: nessuno vuole parlare di calcoli di volume… PS Speriamo che vogliano farsi vedere più veloci di Mavo a scrivere, ma non insistete a farli scrivere da sé. per la classe terza e quarta: nel testo c’è un continuo passaggio dal termine “dado” al termine “cubetto” e non si parla mai di cubo, ma potete cominciare voi a farvi sfuggire “volume del cubo” quando s parla di spazio occupato dal dado più grande e di “volume del solido” per lo spazio occupato dall’altra figura. In tal modo nascerebbe una bella occasione per parlare del linguaggio della matematica: cubetti sono quelli per costruire, ma cubo è un oggetto ideale che studiamo quando facciamo geometria e ogni dado, piccolo o grande, è un modello concreto di cubo. Rispondere al perché dell’ultima domanda può essere difficile: lasciateli provare cercando solo di aiutarli ad essere chiari. Potete dire che non capite: per noi insegnanti, fare la figura dello stupido è un’ottima maniera per costringerli a diventare sempre più chiari. 5
Per la terza risposta, state prima ad osservare che cosa intendono i ragazzi per spazio occupato, per più o meno spazio occupato, poi provate voi a parlare di volume… Rispondere al perché dell’ultima domanda può essere difficile: lasciateli provare cercando solo di aiutarli ad essere chiari. Potete dire che non capite: per noi insegnanti, fare la figura dello stupido è un’ottima maniera per costringerli a diventare sempre più chiari. La Redazione dei Giochi 6
siamo alla quarta tappa, dedicata al tentativo di prevedere in quanti modi si possono sistemare n oggetti se si hanno a disposizione n posti oppure se si ha a disposizione un numero più piccolo di posti. Vorremmo che questi problemi ci servissero almeno in due modi diversi: 1. visto che i nomi delle erbe sono complicati e lunghi, vorremo che i ragazzini fossero indotti a scegliere dei simboli per rappresentare le erbe. I piccoli procedano come preferiscono, ma i più grandi magari potrebbero già usare simboli che sono lettere (le iniziali dei nomi, per esempio) oppure che sono i numeri da 1 a …; 2. visto che si tratta di gestire tante situazioni possibili, complicate quanto basta, vorremo che i ragazzini si accorgessero che, dopo le prime prove di elenchi costruiti a caso, è meglio cercare un ordine secondo il quale muoversi, anche per poter convincere un eventuale interlocutore del fatto che non si sono “persi” dei casi. Innanzi tutto un’osservazione relativa a TUTTI i problemi: abbiamo disegnato delle scatole molto diverse fra loro perché vogliamo che i ragazzini accettino facilmente di ritenere diverse due sistemazioni fatte con le stesse erbe se le erbe stanno in scatole diverse. Legando in modo fisso le scatole fra loro vogliamo evitare che ci si domandi che cosa succede se si scambia l’ordine di presentazione delle scatole In prima, si tratta di disporre 2 oggetti scelti fra 3. Le possibilità sono 6: AB, BA, AC, CA, BC, CB. Abbiamo poi chiesto ai bambini la soluzione del problema concreto - pensando a risposte che prevedano di dividere una scatola in due con un pezzo di cartoncino o una foglia rigida oppure di mettere dentro una scatola due sacchetti con erbe diverse – perché ci sembra che nel racconto questa richiesta ci stia, ma se vi sembra che disperda l’attenzione, buttatela, ovviamente. In seconda i bambini, se avranno risposto bene alla prima parte, non dovrebbero rimanere troppo spiazzati dalla seconda domanda. Nella prima parte le possibilità sono 6: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Nella seconda invece il problema è quello della classe prima. In terza li facciamo lavorare su numeri più grandi nella prima parte, in cui le soluzioni sono 24: 6 che cominciano con D: DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA e altre 6 per ognuna delle altre possibili lettere messe in prima posizione. Dovranno poi leggere attentamente il testo per scoprire che il problema della seconda parte è più che alla loro portata, visto che è quello dato in prima. In quarta i bambini scopriranno che se si sono organizzati bene nel rispondere alla prima richiesta (che è la stessa data in terza) anche il problema della seconda parte non è troppo complicato e che ci sono 6 modi di sistemare le erbe ogni volta che se ne sia lasciata fuori una e quindi che i modi diversi sono 24. In quinta, per la seconda parte i numeri sono grandi, ma avendo lavorato sulla prima parte del problema, ci aspettiamo che i ragazzini procedano ordinatamente cominciando a togliere una coppia di erbe per volta, senza spaventarsi… Le maniere diverse per sistemare 4 erbe in 3 posti sono 24 (è il problema dato in terza), mentre per calcolare quanti modi diversi ci sono per sistemare 3 erbe in 5 posti si può procedere così: togliamo E e D, allora ci sono 6 modi con A,B,C; togliamo E e C e ce ne sono altri 6, poi togliamo E e B, e ancora E a A, poi togliamo D e C, D e B, D e A, poi togliamo C e B e C e A e infine togliamo A e B. In tutto 6x10 modi diversi. Attenzione! Guardate che nessuno si aspetta che i ragazzini chiudano la questione, ma ci piacerebbe che a qualcuno venisse l’idea di come si potrebbe fare e poi chiedesse a voi, gli esperti, di farlo davvero senza perdervi…. Buon lavoro! La Redazione dei Giochi PS A PROPOSITO DI MADAGASCAR Nelle presentazioni dei problemi ai ragazzi ci è sembrato giusto non tacere della situazione difficile in cui si trova in questo momento il Madagascar, dopo il cambio di governo o la minaccia di cambio di governo. Ovviamente, date a questa situazione il rilievo che ritenete più adeguato alla vostra classe. Fare finta di nulla per noi voleva dire togliere credibilità allo scambio, ma speriamo di aver scritto messaggi sufficientemente sereni. 1 7
Due componenti della Redazione hanno dovuto ridurre il loro impegno nella gestione delle risposte e quindi non riusciremo a rispondere a tutti i gruppi che ci scriveranno nei primi 15 giorni. Garantiamo quindi di scrivere un messaggio soltanto a quelli che ci avranno inviato la risposta nei primi 10 giorni. Come sempre, voi sentitevi autorizzati a rispondere al nostro posto, se serve. 2 8
come vedrete, i giochi della tappa finale sono per lo più una ripresa diretta dei giochi delle tappe precedenti. In generale, non sono facili e, a nostro avviso, la loro soluzione richiederà tempo. Come vi avevamo annunciato all’apertura dei Giochi, anche se per noi si tratta soltanto di una forma scelta per coinvolgerli al meglio e dare loro il senso d’aver compiuto un percorso, li presentiamo ai ragazzi come se si trattasse di una “gara”. Vale quindi la pena di prendere qualche precauzione in più rispetto al solito. La classe potrà lavorare divisa a gruppi come nelle tappe precedenti, ma dovrà inviare un’unica risposta condivisa da tutti i gruppi e scriverla direttamente sulla scheda-risposta. Vi suggeriamo (ma è davvero solo un suggerimento, naturalmente!) di far lavorare i gruppi su quesiti diversi e di confrontare e discutere poi con tutta la classe la soluzione raggiunta da ogni gruppo. Sulla scheda-risposte andrà inserita anche l’indicazione del tempo impiegato per lo svolgimento della prova, compreso quello dedicato all’eventuale discussione tra i gruppi per concordare la risposta, ma escluso quello usato all’inizio per distribuire il lavoro. L’indicazione del tempo è un parametro utile a noi per motivi statistici legati alla sperimentazione, ma non sarà uno dei criteri usati per determinare l’eccellenza dei risultati raggiunti. Quanto alla data in cui svolgere la prova, decidete voi, ma vi chiediamo di inviarci le risposte entro la sera dell’11 maggio, anche per garantire la valutazione tempestiva delle risposte e quindi la pubblicazione dei risultati. Vi chiediamo inoltre di fare in modo che tutte le classi di una stessa scuola svolgano la prova nello stesso giorno e alla stessa ora, così che nessuna classe sia avvantaggiata/svantaggiata. A differenza delle prove precedenti, non devono essere inviati i lavori dei ragazzi, ma deve essere spedita soltanto la scheda-risposte compilata. La scheda-risposte, che trovate, per ogni classe, all’inizio dei testi dei giochi di ogni contesto, va separata dal testo, poi può essere spedita anche per posta elettronica all’indirizzo donatella.detommaso@unimi.it con oggetto: risposte tappa finale oppure per fax (alla c.a dott. Donatella De Tommaso) al n. 02-503.16090. Verranno considerate valide le risposte pervenute alla Redazione entro le 23:59 di lunedì 11/5/08. La Redazione correggerà le risposte pervenute entro i tempi stabiliti e stilerà una classifica dei risultati. A parità di punteggio conseguito si prenderà in considerazione l’impegno dimostrato nelle precedenti tappe dai vari gruppi della classe. I risultati verranno pubblicati sul sito www.quadernoaquadretti.it il giorno lunedi 18 maggio 2008. Per tutte le classi incluse nella classifica finale (e solo per queste!) verrà messo in rete a disposizione dei docenti un attestato di fine percorso. Le cinque classi che saranno risultate prime (la prima fra tutte le prime, la prima fra tutte le seconde, la prima fra tutte le terze, la prima fra tutte le quarte, la prima fra tutte le quinte) verranno contattate direttamente per telefono dalla redazione dei Giochi per concordare come riconoscere ai ragazzi il buon lavoro compiuto. Buon lavoro! La redazione dei giochi P.S La consueta riunione di fine giochi si svolgerà il 9 giugno 2009 alle 15:30 al Dipartimento di Matematica, Via Saldini 50, Milano (la redazione dei giochi sarà disponibile fino alle 18:30). 9
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